Thơ tình toán học

Giải tích cổ điển

Ánh xạ cuộc đời đưa anh đến với em
Qua những lang thang trăm nghìn toạ độ
Em số ảo ẩn mình sau số mũ
Phép khai căn em biến hoá khôn lường

Ôi cuộc đời đâu như dạng toàn phương
Bao kỳ vọng cho khát khao tiến tới
Bao biến số cho một đời nông nổi
Phép nội suy từ chối mọi lối mòn

Có lúc gần còn chút Epsilon
Em bỗng xa như một hàm gián đoạn
Anh muốn thả hồn mình qua giới hạn
Lại chìm vơi cạn mãi giữa phương trình

Tình yêu là định lý khó chứng minh
Hai hệ tiên đề chênh vênh xa lạ
Bao lô gic như giận hờn dập xoá
Vẫn hiện lên một đáp số cuối cùng

Mẫu số niềm tin đâu dễ quy đồng
phép chiếu tình yêu nhiều khi đổi hướng
Lời giải đẹp đôi luc do lầm tưởng
Ôi khó thay khi cuộc sống đa chiều

Bao chu kỳ, bao đợt sóng tình yêu
Anh khắc khoải cơn thuỷ triều cực đại
Em vẫn đó bờ nguyên hàm khờ dại
Nơi trái tim anh,
em mãi mãi là hằng số vô biên.

Hình học

Ðời tổng hợp bởi muôn ngàn mặt
Mà tình em là quĩ tích không gian
Kiếp nhân sinh những hàm số tuần hoàn
Quanh quẩn chỉ trong vòng tròn lượng giác
Anh không muốn cuộc đời đầy Sin Cos
Sống khép tròn trong cộng trừ nhân chia
Cạnh góc đối! Ôi phức tạp vô cùng
Mà hạnh phúc chính là đường biểu diễn

Sống yên bình vào vòng đời tịnh tiến
Ðâu phải là nghiệm số của lòng trai
Anh muốn lên tận cực của thiên tài
Ðể đo lấy bán kính trần gian vũ trụ
Nếu dòng đời toàn là thông số
Bài toán tình là căn thức bậc hai.

Đại số

Anh tìm em trên vòng tròn lượng giác,
Nét diễm kiều trong tọa độ không gian.
Đôi trái tim theo nhịp độ tuần hoàn,
Còn tất cả chỉ theo chiều hư ảo.
Bao mơ ưóc, phải chi là nghịch đảo,
Bóng thời gian, quy chiếu xuống giản đồ.
Nghiệm số tìm, giờ chỉ có hư vô,
Đường hội tụ, hay phân kỳ giải tích.
Anh chờ đợi một lời em giải thích,
Qua môi trường có vòng chuẩn chính phương.
Hệ số đo cường độ của tình thương,
Định lý đảo, tìm ra vì giao hoán.
Nếu mai đây tương quan thành gián đoạn,
Tính không ra phương chính của cấp thang.
Anh ra đi theo hàm số ẩn tàng,
Em trọn vẹn thành phương trình vô nghiệm.

Phương trình

"Phương trình" nào đưa ta về chung lối
"Định lý" nào sao vẫn mãi ngăn đôi
"Biến số" yêu nên tình mãi hai nơi
Điểm "vô cực" làm sao ta gặp được

"Đạo hàm" kia có nào đâu nghiệm trước
Để "lũy thừa" chẳng gom lại tình thơ
"Gia tốc" kia chưa đủ vẫn phải chờ
"Đường giao tiếp" may ra còn gặp gỡ

Nhưng em ơi! "Góc độ" yêu quá nhỏ !
Nên vẫn hoài không chứa đủ tình ta
Tại "nghịch biến" cho tình mãi chia xa
"Giới hạn" chi cho tình yêu đóng khép

"Lục lăng" kia cạnh nhiều nhưng rất đẹp
Tại tình là "tâm điểm" chứa bên trong
Nên "đường quanh" vẫn mãi chạy lòng vòng
Điểm " hội tụ" vẫn hoài không với tới

Em cũng biết "tung, hoành" chia hai lối
Để tình là những đường thẳng "song song"
Điểm gặp nhau "vô cực" chỉ hoài công
Đường "nghịch số" thôi đành chia hai ngả.

Hình học

Anh đau đớn nhìn em qua quỹ tích
Tình em nào cố định ở nơi đâu
Anh tìm em khắp diện tích địa cầu
Nhưng căn số đời anh đành cô độc


Để anh về vô cực dệt duyên mơ
Cho không gian trọn kiếp sống hững hờ
Chiều biến thiên là những cơn mơ.
Đường biễu diễn là chuỗi ngày chán nản


Em sung sướng trên đường tròn duyên dáng
Anh u sầu trên hệ thống x-y
Biết bao giờ đôi ta được phụ kề
Anh đành chết trên đường tiếp cận

Ôi anh chết cũng vì hệ số
Định đời anh trong biểu thức khổ đau
Như cạnh góc vuông , với cạnh huyền
Gần nhau đấy nhưng không trùng hợp


Qua những điều trên ta quy ước
Tình yêu là 1 cái compa
Vòng tròn nào dù nhỏ dù to
Cũng đều có tâm và bán kính
Tâm ở đây là tâm hồn cố định
Bán kính là nỗi nhớ niềm thương.

Bài tiếp

Là giao điểm hai tâm hồn đối xứng
Là tương giao hay đồ thị hai chiều,
Ai là người định nghĩa nổi tình yêu,
Đầy tạp số tôi học hoài không hiểu

Tôi cố định trong sân trường đơn điệu,
Lặng nhìn trên hình chiếu của giai nhân,
Thả hồn theo một tiếp tuyến thật gần,
Theo em mãi suốt đời về vô cực

Tình tôi đó chẳng cần dùng công thức,
Tan trường về tôi cố sức song song,
Tới ngã tư liền bày tỏ nỗi lòng,
Em ngoe nguẩy từ từ tăng tốc độ.

Tôi vẫn cố giử tình yêu đồng bộ,
Hai năm dài đáp số giải không xong,
Tin hành lang em sắp sửa lấy chồng,
Lòng điên đảo trước định đề đen bạc

Tôi xoay mắt theo vòng tròn lượng giác,
Có thấy gì ngoài quỹ tích tình yêu,
Tình đơn phương trong tam giác ba chiều,
Lay hoay mãi trên chuyến đò vĩ tuyện

Tìm lối thoát đồng quy hay tịnh tiến,
Hệ luận nào thuyết phục nổi em tôi,
Đành đi theo phân giác tận chân trời,
Tìm ẩn số của phương trình vô nghiệm.

Giải tích

Tình đâu là căn thức bậc hai
Ðế có thể ngồi yên mà xét dấu
Em phải nhớ tình yêu là góc số
Mà hai ta là những kẻ chứng minh
Ðừng bao giờ đảo vế một phương trình
Cứ thong thả mà vui trên đồ thị
Tìm đạo hàm rồi ngồi yên suy nghĩ
Sẽ thấy dần hệ số góc tình yêu
Ðừng vội vàng định hướng một hai chiều
Rồi một buổi ta đồng qui tại góc
Em mĩm cười như tiếp tuyến bên tôi
Tôi vội vàng phân tích nét hoa tươi
Và nhận thấy em xinh xinh cực đại
Em khó hiểu thì tôi đành vô giải
Bài toán giải bằng phương pháp tương giao
Nhìn em cười tôi định nghĩa tình yêu
Nhưng chỉ gặp một phương trình vô nghiệm
Chưa hẹn hò mà lòng như bất biến
Chưa thân nhau mà đã thấy so le
Trót yêu rồi công thức có cần chi
Vì hệ luận ái tình không ẩn số
Em không nói tôi càng tăng tốc độ
Ðể mình tôi trên quãng đường đơn điệu.
Yêu là chết là triệt tiêu tất cả
Tình tiệm cận riêng mình tôi buồn quá
Nỗi cô đơn không giới hạn ngày mai
Tôi mang em đặt điều kiện tương lai
Cho tôi sống với nỗi niềm đơn giản.

Học toán

Em gái ơi đừng ghét môn toán
Hãy lại đây ta cùng nhau học toán
Lại gần đây hai ta ngồi xích lại
Bài toán nào ta giải mà chả ra

Tay trái cầm chiếc compa
Tay phải cầm thước đi ra đi vào
Lấy hơi em nói thì thào
Rằng học như thế không vào đúng thôi

Đạo hàm ai lại nhân đôi
Tích phân trở lai nó dôi ra liền
Giới hạn thí nhớ lấy biên
Tích phân xác định trong miền không gian

Đồ thị trục dọc trục ngang
Không cần nhớ hết mà hoang mang mình
Đến khi gặp phải phương trình
Không khai căn được thì bình phương lên
Với bất phương trình không nên
Cần xem xét dấu mới nên nhân vào

Em giống như một đao hàm chưa giải
Để cho anh phải mò mẫm tích phân
Thân hình em một hàm số bình phương
Những uốn cong vô cùng kỳ diệu.


Hình học sơ cấp

Tôi và em tính tình hơi đồng dạng
Sống bên nhau chắc tĩ số cân bằng
Tôi xin thề không biện luận cao xa
Mà chỉ lấy định đề ra áp dụng
Tôi có thể chứng minh là rất đúng
Vì tình tôi như hàng điểm điều hòa
Nếu bình phương tôi lại rút căn ra
Cũng chẳng khác điều năm trong quĩ tích
Tôi yêu em với một tình yêu cố định
Tìm chu kỳ cho hàm số tuần hoàn
Dùng định lý thay ngàn câu ước hẹn
Xuống lũy thừa thay vạn lá thư duyên
Giải đạo hàm mong tiếp xúc cùng em
Tìm toạ độ trong tình yêu toán học.

Đại số

Bài 1: Cho a < b là hai số thực. Xét xem tập nào sau đây với các phép toán cộng và nhân với 1 số thông thường có lập thành không gian vecto trên R?
a. Tập L[a;b] các hàm khả tích trên [a;b].
b. Tập C(n)[a;b] các hàm thực có đạo hàm cấp n liên tục trên khoảng (a;b).
c. Tập các hàm thực khả vi vô hạn lần.
d. Tập các hàm thực bị chặn trên [a;b].
e. Tập các hàm thực không bị chặn trên [a;b].
f. Tập các hàm thực thỏa mãn f(a)=0.
g. Tập các hàm thực thỏa mãn f(a)=-1.
h. Tập các hàm thực thỏa mãn f(a)=c.
i. Tập các hàm thực đơn điệu tăng trên [a;b].
k. Tập các dãy số thực hội tụ.
l. Tập các dãy số thực phân kì.
m. Tập các số thực bị chặn.
n. Tập các dãy số thực hội tụ tuyệt đối, hội tụ tuyệt đối cấp p, với p là số thực khác 0.
q. Tập cá ma trận trên R với n hàng, m cột.
p. Tập các ma trận vuông đối xứng trên R.
o. Tập các ma trận vuông trên R giao hoán với một họ ma trận cho trước.
t. Tập các ma trận vuông trên R với đường chéo chính bằng 0.
r. Tập các ma trận vuông đường chéo bằng 0.
y. Tập các ma trận vuông trên trường R với định thức bằng 0.

Giải tích

Bài 1:

Nội dung ôn thi cao học

Môn: Giải tích

PHẦN I: KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ

A. Không gian Mêtric.

1. Tôpô trong không gian Mêtric: Lân cận, tập mở, tập đóng

2. Sự hội tụ trong không gian Mêtric

3. Không gian Mêtric đầy. Bổ sung đầy không gian Mêtric. Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu đóng thắt dẫn. Định lý Baire về phạm trù. Định lý Banach về điểm bất động của ánh xạ co và ứng dụng của nó.

4. Không gian Compact. Tập Compact và tập hoàn toàn bị chặn. Định lý Heine-Borel.

5. Ánh xạ liên tục giữa các không gian Mêtric. Các tính chất của hàm số liên tục trên không gian Compact. Định lý Arzela-Ascoli

B. Không gian tôpô

1. Không gian Tôpô.

2. Một số loại không gian tôpô. Không gian Hausdorff, không gian chính quy, không gian chuẩn tắc. Định lý Tietze. Không gian compact. Không gian compact địa phương. Compact hoá Alecksandrov.

PHẦN II: TÍCH PHÂN

1. Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue.

2. Định luật Lebesgue và tiêu chuẩn khả tích Riemann

3. Các định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue

4. Không gian L^p(1≤p≤+∞)

5. Định lý Fubini

PHẦN III: KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH, KHÔNG GIAN HILBERT

1. Không gian định chuẩn. Không gian Banach. Không gian liên hợp với không gian định chuẩn. Toán tử liên tục. Toán tử liên hợp

2. Các định lý cơ bản của giải tích hàm.

- Định luật Haln- Banach và định lý tách các tập lồi trong không gian tuyến tính

- Định lý Banach về ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng.

- Định lý Banach- Steinhaus và hệ quả

3. Toán tử Compact. Phổ của toán tử và phổ của toán tử compact. Định lý Schauder về tính compact của toán tử liên hợp.

4. Không gian Hilbert. Hệ véc tơ trực giao, phần bù trực giao của không gian con, tổng trực giao. Định lý Riesz về dạng của phiếm hàm tuyến tính liên tục. Cơ sở của không gian Hilbert. Giá trị riêng và véc tơ riêng của toán tử compact liên hợp. Định lý Hilbert Schmidt về biểu diễn phổ.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Hoàng Tuỵ. Giải tích hiện đại, tập I,II,III (Nhà xuất bản giáo dục 1979)

2. Phạm Đức Chính. Giải tích hàm, Tập I, II (Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp 1974, Nhà xuất bản giáo dục 1977-1978)

3. Kohnnogovov A.H. Femine B.V. Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm (Bản dịch của Trần Phúc Cường, Võ Tiếp, Tập I, NXBGD, 1981, tập II NXBGD 1982)

4. Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải- Bùi Đắc Tắc- Đỗ Đức Thái. Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập 1 và 2, NXBGD, 2001

5. Đỗ Đức Thái, Bài tập không gian tôpô- Độ đo- Tích phân. NXB Đại học Sư phạm-2003

6. Tài liệu ôn thi cao học của thầy Lê Hoàn Hóa và Huy.

Môn: Đại số

I. Đại số tuyến tính

1. Không gian véc tơ: Không gian véc tơ; cơ sở; chiều; hạng của hệ véc tơ, không gian véc tơ con; Không gian con sinh bởi một tập.

2. Ánh xạ tuyến tính: Ánh xạ tuyến tính; ảnh và hạt nhân; Đơn cấu; toàn cấu, đẳng cấu; không gian thương và Định lý về đồng cấu.

3. Ma trận: Ma trận của ánh sáng tuyến tính; vành các ma trận vuông; Nhóm tuyến tính tổng quát (của các ma trận khả nghịch)

4. Định thức: Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên; định thức của một ma trận vuông, của một tự đồng cấu, của một hệ véc tơ đối với một cơ sở; Định thức về hạng của ma trận biểu thị qua định thức.

5. Hệ phương trình tuyến tính: Hệ phương trình tuyến tính; Quy tắc Cramen; Phương pháp khử Gaus; Định lý Kronecker-Capelli.

6. Véc tơ riêng, giá trị riêng của một tự đồng cấu

7. Dạng toàn phương: Dạng song tuyến tính; dạng toàn phương; phân loại dạng toàn phương thực; định lý về chỉ số quán tính.

8. Không gian véc tơ Euclid: Không gian véc tơ Euclid; Cơ sở trực chuẩn; biến đổi trực giao; Nhóm các ma trận trực giao O(n); Chéo hóa các phép biến đổi đối xứng

II. Nhóm

1. Nhóm: Nhóm; nhóm con; nhóm con sinh bởi một tập; Nhóm xyclic; nhóm con của nhóm xyclic.

2. Nhóm con chuẩn tắc: Liên hợp; lớp kề (lớp ghép); Nhóm con chuẩn tắc; nhóm thương.

3. Đồng cấu nhóm: Đồng cấu nhóm; ảnh và hạt nhân; định lý về đồng cấu nhóm.

4. Nhóm hữu hạn: Định lý Lagrange và các hệ quả.

5. Nhóm đối xứng: Nhóm đối xứng; Nhúng các nhóm hữu hạn vào nhóm đối xứng; Nhóm thay phiên.

III. Vành và trường

1. Vành và iđêan: Vành; Vành con; Đặc số của vành; Iđêan; Iđêan nguyên tố và Iđêan cực đại; vành thương.

2. Đồng cấu vành: Đồng cấu vành; ảnh và hạt nhân; Định lý về đồng cấu vành.

3. Vành và các iđêan chính: Miền nguyên; Vành các iđêan chính; Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

4. Vành nhân tử hóa: Vành nhân tử hóa (Vành Gauss). Tính nhân tử hóa của vành Euclid

5. Trường: Trường; Trường và các thương (trường các phân thức)

6. Vành và trường số: Vành số nguyên; Trường số hữu tỉ; Trường số phức.

IV. Vành đa thức

1. Đa thức: Vành đa thức một ẩn (với các hệ số trong một trường); Phép chia (euclid) với dư

2. Đa thức bất quy tắc, đa thức bất khả quy; tính nhân tử hóa của vành đa thức một ẩn

3. Nghiệm của đa thức: Nghiệm và nhân tử tuyến tính; trường phân rã của một đa thức.

4. Định lý cơ bản: Định lý cơ bản của Đại số học; Nhân tử hóa đa thức với hệ số thực.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Sách lý thuyết

1. S.Lang, Đại số(Tập 1,2,3), Bản dịch tiếng Việt, Nxb ĐH và THCN
2. Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB GD

Sách bài tập

1. Bùi Huy Hiển, Nguyễn Hữu Hoan, Phan Doãn Thoại, Bài tập đại số và số học (Tập 1,2), Nxb GD

3. Tài liệu ôn thi cao học của thầy Quang và thầy Huyên

2. Đại số đại cương của thầy Quang.

Thời khóa biểu:
Thứ 2,6: Giải tích
Thứ 4: Đại số

Bảng chữ cái HY-LA và Latinh

Với chữ đầu là dạng chữ hoa, chữ thứ nhì là kiểu chữ thường kèm cách đọc theo tiếng Pháp:

Chữ hoa Α chữ thường α theo tiếng Pháp là alpha
Β β beta
Γ γ gamma
Δ δ delta
Ε ε epsilon
Ζ ζ zeta
Η η eta
Θ θ theta
Ι ι iota
Κ κ kappa
Λ λ lambda
Μ μ mu
Ν ν nu
Ξ ξ xi
Ο ο omicron
Π π pi
Ρ ρ rho
Σ σ sigma
Τ τ tau
Υ υ upsilon
Φ φ phi
Χ χ chi
Ψ ψ psi
Ω ω omega

HƯỚNG DẪN TÌM KIẾM SÁCH TRÊN INTERNET

Trong thời gian này do nhu cầu tìm tài liệu làm khóa luận, nhiều bạn nhờ mình tìm giúp, thế là mình phải mất trung bình mỗi bạn mình kiếm mất 1 đêm, hic hic, xém mù con mắt, mờ mắt thì có rồi. Nghĩ đi nghĩ lại, viết luôn bài hướng dẫn rồi mai mốt bạn hay đàn em nào hỏi thì cho họ bài hướng dẫn này vừa bổ ích cho mình, vừa bổ ích cho mọi người.

Bài trên yahoo mình copy bài từ Blog Opera nên ko đẹp lắm. Các bạn có thể coi ở bên Blog Opera theo địa chỉ sau: http://my.opera.com/math/blog/huongdantimsach
Mình viết bài này nói về cách tìm sách và tìm những thông tin đó có trong sách nào của bản thân mình.
Đầu tiên mình giới thiệu hai trang web mình dùng:
1. Trang Google Mail
2. Trang http://gigapedia.org/
Đầu tiên các bạn phải có một tài khoản gmail và tải khoản trên gigapedia.org. Ngoài ra bạn nên có 1 chương trình download. Mình xài cái IDM (Internet Download Manager).
Sau đây là cách mà mình download và tìm kiếm sách:
Đầu tiên bạn phải có được key word về vấn đề mà mình cần tìm kiếm. Giả sử mình kiếm về Matrix Group.

Bước 1: Login vài tài khoản Gmail

Tep1

Bước 2: Chọn thanh Books

Tep2
Sau khi chọn các bạn thấy như sau: đây là chức năng tìm kiếm sách khá nổi tiếng của Google với nhiều lĩnh vực Fiction, Non-fiction.
Tep2

Bước 3: Nhập key word vào thanh tìm kiếm. Giả sử mình muốn kiếm về "Matrix Group"

Tep3
Sau khi tìm kiếm bạn sẽ thầy kết quả:
Tep3
Đó những quyển sách Google tìm thấy. Bạn nhấp vào quyển nào đó để coi. Nhớ rằng Google books search chỉ tìm kiếm sách cho bạn, đa phần là sách có bản quyền, nên khi nhấp vào quyển cần xem thì có quyển bạn coi được khá nhiều nội dung, có quyển bạn chỉ coi được ít. ĐÓ là do tình trạng của quyển sách hay do bản quyền từ phía tác giả.
Mình vào hai quyển đầu tiên:
Tep3
Tep3
Bạn nên xem qua quyển đó xem có dùng được không, có hữu dụng cho mình không. Sau khi thấy mình cần quyển này thì bạn nên nhớ tự đề và tác giả nhé.
Giả sử quyển thứ nhất là "Matrix Groups: An introduction..." của Andrew Baker, quyển thứ hai là "Matrix Group" của Murtis.

Bước 4: Vào mở Trang http://gigapedia.org/

Tep4
Và login (bạn phải đăng ký nếu chưa có tài khoản)
Tep4
Sau khi login rồi. Bạn chú ý chọn gigapedia, như hình dưới đây:
Tep4

Bước 5: Nhập tựa sách vào thanh tìm kiếm

Tep5
Sau khi bạn tìm kiếm thì kết quả như sau:
Tep5
Ta thấy trang đầu thấy ngay quyển thứ nhất, không thấy quyển thứ hai, nếu kiên nhẫn bạn chuyển sang những trang tiếp theo xem có hay không.
Ta thấy rằng Gigapedia cũng tìm được rất nhiều quyển sách có từ khóa hay linh vực có liên quan.

Bước 6: Nếu bạn login vào Gigapedia thì có có thanh Link. Như hình bên dưới và bạn nhấp vào đó xem Link.

Tep6
Sau khi nhấp vào các bạn thấy có khá nhiều Link mà mọi người gửi lên. Chủ yếu là ifile.it và rapidshare.com. Trang rapidshare.com rất khó download bạn nên chọn những trang khác đừng nên chọn rapidshare.
Tep6
Bạn nhấp vào Link ifile.it, kết quả như sau:
Tep6
Sau đó bạn nhấp đúp vào Request Download Ticket.
Sau đó nhập ký tự yêu cầu:
Tep6
Tiếp theo bạn nhấp đúp vào Download
Tep6
Chọn Ok
Tep6
Đây là kiểu download bằng chức năng của FireFox, nếu bạn bận chức năng của Download của IDM lên thì sẽ nhanh hơn.
Tep6

Bước 7: Sau khi download xong bạn vào nơi chứa file vừa download và giải nén:

Tep7
Thường những file trên các trang này được nén lại và có pass
Tep7
Nhưng các bạn đừng lo lằng, ở trang ban đầu mà họ đưa link mọi người đã cho bạn pass rồi, như thường là pass là:twilightzone
gigapedia.org, hoặc ebooksclub.org
Tep7
Bạn copy và paste vào giải nén ra:
Tep7
Sau khi giải nén ta đã có được quyển sách cần rùi
Tep7

Bước 8: Bước đọc sách. Thường thì sách trên mạng có dạng .pdf hoặc .djvu. Để đọc dạng .pdf thì hẳn ai cũng biết rồi, còn với .djvu thì các bạn có thể lên mạng download phần mềm về đọc, mình dùng chương trình "WinDjView-0.5". Cách dùng như sau:
Nhấp chuột phải lên quyển sách, chọn Open hay Open with...

Tep8
Chọn Browse...
Tep8
Chọn đến nơi chứa chương trình WinDjView, rồi Open
Tep8
Chọn Ok
Tep8

Bước 9: Hưởng thụ thành quả. he he
Tep8

Hic hic. Cuối cùng cũng xong rồi. Nghỉ được rồi. Chúc thành công nhé các bạn.

ÔN THI GIẢI TÍCH HÀM ĐIA!

pHầN 1: lÝ tHuYếT

Chương 1:
6.1 Định lí:


Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều trên cùng một trường K đều đẳng cấu với nhau
Chứng minh:


Ta chứng minh nếu E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều (dimE=n) trên trường K tùy ý thì E đẳng cấu với K^n (Không gian Euclide n_chiều).
Tìm một ánh xạ từ E --&gt; K^n là 1 đẳng cấu tuyến tính và liên tục hai chiều.
Gọi a1,a2,...,an là cơ sở của E. Mọi x in E được viết một cách duy nhất dạng: x=b1a1+b2a2+...+bnan với bi in K.
Đặt x*=(b1,b2,...,bn) in K^n
Lúc đó xét ánh xạ: T: E-------&gt;K^n
T(x)=x* xác định như trên.
Kiểm tra T là đẳng cấu tuyến tính (rõ ràng nó là 1-1 vì tính duy nhất cách biểu thị của x qua cơ sở)
Chứng minh T, T^-1 liên tục.
Hệ quả 1: Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là Banach, các chuẩn trên cùng một không gian hữu hạn chiều đều tương đương với nhau.
Chứng minh:


Từ định lý trên nếu E là kgđc hữu hạn chiều (dimE=n) trên trường K thì nó đẳng cấu với K^n. Nên tính chất của E là tương tự tính chất của K^n, mà K^n là không gian Banach nên E là không gian Banach.
Giả sử (E,c1), (E,c2) là kgđc hữu hạn chiều với hai chuẩn khác nhau nhưng đều đẳng cấu K^n. Và từ ánh xạ đồng phôi từ E ---&gt;K^n ta có thấy rằng giữa c1 và c2 có số a, b&gt;0 để: ac1(x)&lt;=c2(x)&lt;=bc1(x), all x in E.
Có một tính chất quan trọng tích các không gian tuyến tính định chuẩn là một không gian Banach khi và chỉ khi mọi thành phần đều là Banach.
Hệ quả 2: Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian định chuẩn đều là không gian con đóng.
Chứng minh:


Cũng tương tự do K^n là không gian đóng nên E là không gian con đóng.
6.6 Định lí Riesz:
Mọi không gian định chuẩn E là compact địa phương nếu và chỉ nếu có chiều hữu hạn.
(Every locally compact space if and only if it has finite dimension)
Chứng minh:
Chiều thuận:
Ta tìm hệ a1,a2,...,an in E thỏa E=&lt;a1,a2,...,an&gt; với giả thuyết E compact địa phương ta tìm cơ sở thỏa yêu cầu trên.
Chiều đảo:
E hữu hạn chiều nên đẳng cấu K^n, mà K^n là không gian compact địa phương nên E là compact địa phương.
Chương 2:
Vài hệ quả của định lí Hahn - Banach:
Hệ quả 1:
Mọi phiếm hàm tuyến tính f liên tục trên kg con F của kgđc E đều tồn tại phiếm hàm tuyến tình liên tục f* trên E sao cho: f*|F = f và ||f*||=||f||.
Chứng minh:
Hệ quả 2:
Cho F là 1 kgvt con của kgđc E và vectơ v in E\F sao cho d(v,F)={inf||v-x||_x in F}=a&gt;0. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liện tục f: E------&gt;K sao cho ||f||=1, f|F=0 và f(v)=a.
Chứng minh:
Hệ quả 3:
Mọi vectơ v in kgđc E, v#0, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho ||f||=1 và f(v)=||v||.
Chứng minh:
Hệ quả 4:
Cho p là một nửa chuẩn trên kgvt E và v in E. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho |f(x)|&lt;=p(x) all x in E and f(v)=p(v).
Chứng minh:
Định lý đồ thị đóng:
Cho f là ánh xạ tuyến tính từ kg Banach E vào kg Banach F. Khi đó f liên tục nếu và chỉ nếu đồ thị của f là tập đóng trong E x F.
Chứng minh:
Chương 3:
2.4 Định lí:
Cho F là kg con Hilbert của kg tiền Hilbert E. Khi đó E=F [+] F'(với [+] tổng trực tiếp, F' là phần bù trực giao của F) và phép chiếu trực giao P|F : E----&gt;F là ánh xạ tuyến tính, liên tục.
Chứng minh:
4.3 Bổ đề:
Cho {e_i} là 1 dãy trực chuẩn trong kg Hilbert E. Khi đó
a) Bất đẳng thức Bessel thỏa mãn (tổng vô hạn |(x|e_i)|^2 &lt;= ||x||^2 all x in E)
b) Mọi (b_i) in l^2 chuỗi b_ie_i hội tụ trong E.
Chứng minh:
4.4 Định lí:
4.5 Định lí:
(Xem GTH Đậu Thế Cấp)
pHầN 2: bÀi tẬp

BỔ SUNG KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH HÀM

Phần 1: Bổ sung những khái niệm trong không gian tôpô và không gian lồi địa phương





I. Không gian vectơ tôpô:


1. Cơ sở Hamel:



Cho V là KGVT, B là tập con của V được gọi là cơ sở Hamel của V nếu:
+ B độc lập tuyến tính
+ Mọi phần tử của V là tổ hợp tuyến tính các phần tử của B
2. Không gian Hausdorff (không gian T2):





Giả sử E là KGTP. Khi đó E được gọi là Haudorff nếu mọi x , y thuộc E , x # y, có U mở khác chứa x mà không chứ y.
3. Không gian l^p:





Với 0&lt;p&lt;1 xét không gian: l^p={x=(x_n)(R: tổng vô hạn của (|x_n|^p) hữu hạn}
4. Không gian các hàm khả tích:





Với đoạn hữu hạn [a;b](R và 0&lt;p&lt;1, ký hiệu L^p([a;b]) là không gian vectơ các hàm thực đo được trên [a;b] và: tích phần từ a to b của |x(t)|^pdu hữu hạn, với u là độ đo Lebesgue trên R.
5. Không gian đầy (đủ hay đầy đủ):





Cho E là là KGVT tô pô E được gọi là đầy nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ trong E.
6. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn:





Cho E là KGVT tôpô. V(E được gọi là bị chặn nếu mọi lân cận U của 0 in E tồn lại epsilon dương (e) sao cho tX(U với mọi |t|&lt;e. U(E được gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mọi lân cận H của 0 in E tồn tại tập hữu hạn B(E để U(B+H, điều này có nghĩa là mọi x in U đều tồn tại y_x in B để: x-y_x in H.
7. Định lý Riesz:





KGVT tôpô Hausdorff E hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu nó có 1 lân cận của không gian hoàn toàn bị chặn.
II. Không gian lồi địa phương:


1. Định nghĩa:




KGVT tôpô E gọi là không gian tôpô lồi địa phương nếu mọi phần tử của E có cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi. Hay tương đương phần tử 0 in E có cơ sở lân cận thành lập từ các tập như vậy.
(X is a topological space, X is locally convex if there is a local base B whose members are convex)
2. Tập lồi, cân, hút:




KGVT E, A(E được gọi là lồi nếu tx+(1-t)y in A , mọi t in [0;1], mọi x,y in A.
3. Hàm cỡ:




Nửa chuẩn p_A = inf{a&gt;0: x/a in A} đối với tập lồi cân hút A được gọi là hàm cỡ hay phiếm hàm Minkowski kết hợp với A.

4. Một số ví dụ:



a. Không gian các hàm liên tục trên R: C(R)


Với p_K(f)=sup|f(x)|, x in K với K compact trên R và f in C(R)
Khi đó C(R) là không gian lồi địa phương mêtric.
b. Không gian các hàm khả vi:


Giả sử [a;b] là đoạn hữu hạn trong R. với m in [0; vc), C^m([a;b]) là KGVT các hàm khả vi liên tục bậc m trên [a;b] với p_k(f)=sup{|f^(k)(x)|: x in [a;b]}, f in C^m([a;b]).
Khi đó C^m([a;b]) là không gian vectơ tôpô lồi địa phương.
c. Không gian các hàm chỉnh hình:


Giả sử D là một tập mở trong C. H(D) không gian vectơ con của không gian C(D), các hàm chỉnh hình trên D. H(D) là không gian đầy.
5. Không gian Frechet và không gian Banach:


Giả sử E là không gian lồi địa phương. Ta nói E là:
i. Không gian Frechet nếu nó là không gian vectơ mêtric đầy.
ii. Không gian Banach nếu nó là không gian định chuẩn đầy
III. Ba nguyên lí cơ bản của GTH:


1. Không gian thùng:


Giả sử E là không gian lồi địa phương và A là tập con của E. Ta nói A là 1 thùng trong E nếu A là tập đóng, lồi cân và hút.
Không gian lồi địa phương E gọi là:
i. thùng nếu mọi thùng là lân cận của phần tử không.
ii. tựa thùng nếu mọi thùng trong E hút mọi tập bị chặn là lân cận của không.
2. Nguyên lí đồng liên tục:


3. Nguyên lí ánh xạ mở:


4. Nguyên lí Hahn - Banach:


(Xem GTH của Đậu Thế Cấp)

IV. Lý thuyết đối ngẫu:

1. Cặp đối ngẫu:


2. Tôpô yếu của cặp đối ngẫu:


3. Pôla:


Phần 2: Bổ sung những khái niệm trong giải tích hàm hiện đại


0. Giới hạn quy nạp:


1. Không gian chặn nội (không gian Mackey):


2. Giới hạn quy nạp chặt:


3. Giới hạn xạ ảnh:


4. Tích Tensor của các không gian lồi địa phương:


5. Một số khái niệm khác:


6. F-không gian và DF-không gian:

Bisection (Phương pháp chia đôi)

Bisection is the division of a given curve, figure, or interval into two equal parts (halves)