MỘT SỐ KHÁI NIỆM TOÁN HỌC

ÁNH XẠ CO:

Ánh xạ của không gian mêtric vào chính nó, sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì bị giảm đi qua ánh xạ đó. Chính xác hơn, ánh xạ F được gọi là ÁNH XẠ CO nếu tồn tại một số 0 θ < 1 sao cho ρ(Fx, Fy) θρ(x, y), trong đó x, y là hai điểm tuỳ ý của không gian mêtric, còn ρ(x, y) là khoảng cách giữa x và y. Người ta chứng minh rằng, nếu không gian mêtric là đầy đủ thì mỗi ÁNH XẠ CO bao giờ cũng có một và chỉ một điểm bất động x, tức là F(x) = x. (Nguyên lí điểm bất động của Banach).

(Theo Bách khoa toàn thư Việt Nam)

PHIẾM HÀM:

Cho S là một tập hợp nào đó các hàm số. Phiếm hàm trên tập hợp S là một ánh xạ từ S vào trường số (thực hoặc phức) K. Phiếm hàm có ý nghĩa quan trọng nhất là phiếm hàm tuyến tính xác định như sau: bản thân S là một không gian tuyến tính trên K và phiếm hàm là ánh xạ tuyến tính F từ S vào K, tức là:

F(af₁ + bf₂) = aF(f₁) + bF(f₂) với mọi số a, b K và f₁, f₂ S.

Theo nghĩa tổng quát nhất, phiếm hàm là một ánh xạ từ một tập hợp bất kì vào một trường số.

Nhiều khái niệm quan trọng trong giải tích hàm như tôpô yếu, không gian liên hợp, hàm suy rộng... xuất phát từ khái niệm này.

(Theo Bách khoa toàn thư Việt Nam)

KHÔNG GIAN VECTƠ:

(cg. không gian tuyến tính), sự mở rộng tự nhiên tập hợp các vectơ tự do trong Ơclit không gian ba chiều thông thường. KGV trên trường P là tập hợp V trên đó xác định hai phép toán đại số: phép cộng các phần tử của V, phép nhân một "số" của trường P với phần tử của V và các phép toán này thoả mãn các điều kiện sau:

1. x + y = y + x

2. (x + y) + z = x + (y + z)

3. Tồn tại 0 Î V sao cho với mọi x: x + 0 = x

4. Với mọi x, tồn tại y sao cho x + y = 0

5. (α + β) x = αx + βx

6. α (x + y) = αx + αy

7. α(βx) = (αβ)x

8. 1.x = x

trong đó x, y, z Î V, α, β Î P.

Các phần tử của V gọi là các vectơ. KGV gọi là hữu hạn chiều nếu nó có một cơ sở hữu hạn. Số phần tử của cơ sở gọi là số chiều của không gian. Vd. tích Đêcac Rⁿ là một KGV n chiều

KHÔNG GIAN TÔPÔ:

Một khái niệm quan trọng của toán học mở rộng khái niệm không gian mêtric, trong đó khái niệm "gần nhau" nhờ khoảng cách trong không gian mêtric được thay thế bằng khái niệm "lân cận". Tập hợp X với họ các tập hợp con của X được gọi là KGT nếu nó thoả mãn ba tiên đề: 1) Hợp một số bất kì các tập hợp của là một tập hợp của ; 2) Giao một số hữu hạn các tập hợp của là một tập hợp của . 3) Tập hợp rỗng f và X thuộc . Các tập hợp của gọi là các tập hợp mở. Phần bù trong X của một tập hợp mở gọi là một tập hợp đóng. Mọi không gian mêtric X là KGT, trong đó họ gồm tất cả các tập hợp con của X có tính chất là: khi một tập hợp như vậy chứa một điểm x ∈ X thì nó cũng chứa một hình cầu B_d(x) nào đó (x. Không gian mêtric). Trong KGT, một tập hợp mở bất kì chứa điểm x được gọi là một lân cận mở của x. Họ tất cả các lân cận mở của điểm x kí hiệu là U_x. Một họ con V_x của U_x được gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mỗi U ∈ U_x đều tồn tại một V ∈ V_x sao cho V ∈ U. Xuất phát từ khái niệm lân cận, các khái niệm quan trọng khác trong KGT như hội tụ, liên tục ... đã được xây dựng.

KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN:

một không gian tuyến tính được trang bị một chuẩn ||.|| (x. Chuẩn). Mọi KGĐC đều là không gian mêtric với d (x, y) = ||x – y||, trong đó x và y là các phần tử bất kì của không gian đó. Một KGĐC mà là không gian mêtric đủ gọi là không gian Banac. Vd. không gian C[a, b] các hàm f(x) liên tục trên đoạn [a, b] với chuẩn ||f|| = max |f(x)| là một không gian Banac, song với chuẩn

|f(x)| dx

là một KGĐC nhưng không đủ.

KHÔNG GIAN MÊTRIC:

Tập hợp X được trang bị một mêtric d [x. Mêtric (métrique)]. Hình cầu mở có tâm tại điểm x Î X và bán kính > 0 là tập hợp B_d (x) gồm tất cả các điểm y ∈ X sao cho d(x, y) < . Lân cận của điểm x ∈ X là một tập hợp con của X chứa một hình cầu B_d
KHÔNG GIAN XÁC SUẤT:

Một không gian xác suất (Ω, F, P) là một không gian được trang bị một độ đo với độ đo toàn thể bằng 1 (nghĩa là P(Ω)=1).

Thành phần đầu, Ω (xem không gian mẫu), là một tập không rỗng, với các phần tử thường được biết như là các "kết quả" hay "trạng thái tự nhiên" (ví dụ trạng thái sấp hay ngửa của đồng tiền,...). Một trạng thái tự nhiên luôn tồn tại với một xác suất nào đó. Một phần tử của Ω thường được ký hiệu bởi ω.

Thành phần thứ hai, F, là một tập hợp mà các phần tử của nó được gọi là các sự kiện (event). Các sự kiện là các tập con của Ω. Tập F phải thỏa mãn một vài điều kiện, đặc biết nó phải là một σ-đại số. Cùng với nhau, Ω và F tạo thành một không gian đo được.
KHÔNG GIAN SIÊU LỒI:

A metric space is said to be hyperconvex if it is convex and its closed balls have the binary Helly property. That is,

1. any two points x and y can be connected by the isometric image of a line segment of length equal to the distance between the points, and
2. if F is any family of sets of the form

and if all pairs of sets in F intersect, then there exists a point x belonging to all sets in F.

An equivalent definition is that, if a set of points p_i and positive radii r_i has the property that, for each i and j, r_i + r_j ≥ d(p_i,p_j), then there is a point q of the metric space that is within distance r_i of each p_i.

http://en.wikipedia.org/wiki/Injective_metric_space