1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy–Schwarz , còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz , bất đẳng thức Cauchy , hoặc bằng cái tên khá dài là bất đẳng thức Cauchy–Bunyakovski–Schwarz, đặt theo tên của Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz, là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski–Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS. Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy.

Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì

|langle x,yrangle|^2 leq langle x,xrangle cdot langle y,yrangle.

Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc ) nhau thì tích trong của chúng bằng zero.

Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide.

Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục.

Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong

Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A. Schwarz vào năm 1885.

Chứng minh

Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <y, y> khác zero. Giả sử $λ$ là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

$0 leq left| x-lambda y right|^2 = langle x-lambda y,x-lambda y rangle = langle x,x rangle - lambda langle x,y rangle - bar{lambda} langle y,x rangle + |lambda|^2 langle y,yrangle.$

Chọn

$lambda = langle y,x rangle cdot langle y,y rangle^{-1}$

chúng ta được

$0 leq langle x,x rangle - |langle x,y rangle|^2 cdot langle y,y rangle^{-1}$

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

hay tương đương:

big| langle x,y rangle big| leq left|xright| left|yright|.

(điều phải chứng minh)

Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý

Trong trường hợp không gian Euclide Rⁿ, bất đẳng thức này trở thành

$left(sum_{i=1}^n x_i y_iright)^2leq left(sum_{i=1}^n x_i^2right) left(sum_{i=1}^n y_i^2right).$ . Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: |mathbf{x} cdot mathbf{y}| = |mathbf{x}| |mathbf{y}| |cos theta| le |mathbf{x}| |mathbf{y}|

|mathbf{x} cdot mathbf{y}| = |mathbf{x}| |mathbf{y}| |cos theta| le |mathbf{x}| |mathbf{y}|

. Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng:

langle x,xrangle cdot langle y,yrangle = |langle x,yrangle|^2 + |x times y|^2.

Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức

Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có

left|int f(x)g(x),dxright|^2leqint left|f(x)right|^2,dx cdot intleft|g(x)right|^2,dx.

Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.

Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz $frac {(a_1 + a_2 + ...+a_{n-1}+ a_n)^2}{b_1 + b_2 + ..+ b_{n-1} + b_n} leq frac {a_1^2}{b_1} + frac {a_2^2}{b_2} +...+ frac {a_{n-1}^2}{b_{n-1}} + frac {a_n^2}{b_n}$

Một vài ứng dụng

Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau: cho các vector x và y,

Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được dùng để chứng minh bất đẳng thức Bessel.

2. Bất đẳng thức Holder

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Holder, đặt theo tên của nhà toán học Đức Otto Hölder, là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian L^p: giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc L^p(S) và g thuộc L^q(S). Khi đó fg thuộc L¹(S) và

Các số p và q nói trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau.

Bất đẳng thức Holder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không gian L^p, bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để chứng minh L^p là đối ngẫu với L^q.

Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý

Với p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Trong trường hợp không gian Euclide, khi tập S là {1,...,n} với một độ đo kiểu đếm, chúng ta có kết quả là với mọi x, y trong Rⁿ (Cⁿ)

$sum_{k=1}^n |x_k y_k| leq left( sum_{k=1}^n |x_k|^p right)^{1/p} left( sum_{k=1}^n |y_k|^q right)^{1/q}$

Nếu S=N với một độ đo kiểu đếm, khi đó chúng ta có được bất đẳng thức Holder cho các dãy từ không gian lp

$sumlimits_{n=1}^{infty} |x_n cdot y_n| le left( sumlimits_{n=1}^{infty} |x_n|^p right)^{1/p} cdot left( sumlimits_{n=1}^{infty} |y_n|^q right)^{1/q},; forall x in l^p, yin l^q$ .

Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có

$left|int f(x)g(x),dxright|leqleft(int left|f(x)right|^p,dx right)^{1/p}cdot left(intleft|g(x)right|^q,dxright)^{1/q}.$

Trong trường hợp không gian xác suất , $L^p(Omega,mathcal{F},mathbb{P})$ là các ký hiệu để chỉ không gian của các biến ngẫu nhiên với momentphữu hạn,

$mathbb{E}left[|X|^pright] < infty$ , trong đó là ký hiệu chỉ giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Holder trở thành

$mathbb{E}|XY| le left(mathbb{E}|X|^pright)^{1/p} cdot left( mathbb{E}|Y|^q right)^{1/q},; forall X in L^p, Y in L^q$ .

Trường hợp tổng quát

Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp

Giả sử p_kgeq 1, k=1,ldots n sao cho

$sum_{k=1}^n frac{1}{p_k}=1$

Giả sử $u_kin L^{p_k}(S)$ . Khi đó ta có $prod_{k=1}^n u_k in L^1(S)$ và

$left|prod_{k=1}^n u_kright|_{displaystyle L^1(S)}leq prod_{k=1}^n |u_k|_{displaystyle L^{p_k}(S)}$

3. Bất đẳng thức Minkowski

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Minkowski dẫn đến kết luận rằng các không gian L^p là các không gian vector định chuẩn. Giả sử S là một không gian đo, giả sử 1 ≤ p ≤ ∞, đồng thời f và g là các phần tử của L^p(S). Khi đó f + g cũng thuộc L^p(S), và chúng ta có

dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi f và g phụ thuộc tuyến tính.

Bất đẳng thức Minkowski chính là bất đẳng thức tam giác trong L^p(S). Có thể chứng minh nó bằng cách dùng bất đẳng thức Holder.

Cũng như bất đẳng thức Holder, có thể đưa bất đẳng thức Minkowski về các trường hợp đặc biệt cho các dãy và các vector bẳng cách dùng khái niệm độ đo kiểu đếm được:

$left( sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p right)^{1/p} le left( sum_{k=1}^n |x_k|^p right)^{1/p} + left( sum_{k=1}^n |y_k|^p right)^{1/p}$

với mọi số thực (hay số phức) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n và n là số chiều của S.

Trích Wiki

Phong Van's Blog

Friday, May 30, 2008

NHỮNG BẤT ĐẲNG THỨC QUAN TRỌNG

1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Chứng minh

Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý

Một vài ứng dụng

2. Bất đẳng thức Holder

Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý

Trường hợp tổng quát

3. Bất đẳng thức Minkowski

No comments:

Post a Comment

My Blog List

Followers

Blog Archive

About Me