PHẦN I: KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ
A. Không gian Mêtric.
1. Tôpô trong không gian Mêtric: Lân cận, tập mở, tập đóng
2. Sự hội tụ trong không gian Mêtric
3. Không gian Mêtric đầy. Bổ sung đầy không gian Mêtric. Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu đóng thắt dẫn. Định lý Baire về phạm trù. Định lý Banach về điểm bất động của ánh xạ co và ứng dụng của nó.
4. Không gian Compact. Tập Compact và tập hoàn toàn bị chặn. Định lý Heine-Borel.
5. Ánh xạ liên tục giữa các không gian Mêtric. Các tính chất của hàm số liên tục trên không gian Compact. Định lý Arzela-Ascoli
B. Không gian tôpô
1. Không gian Tôpô.
2. Một số loại không gian tôpô. Không gian Hausdorff, không gian chính quy, không gian chuẩn tắc. Định lý Tietze. Không gian compact. Không gian compact địa phương. Compact hoá Alecksandrov.
PHẦN II: TÍCH PHÂN
1. Tích phân Riemann và tích phân Lebesgue.
2. Định luật Lebesgue và tiêu chuẩn khả tích Riemann
3. Các định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân Lebesgue
4. Không gian Lp(1≤p≤+∞)
5. Định lý Fubini
PHẦN III: KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH, KHÔNG GIAN HILBERT
1. Không gian định chuẩn. Không gian Banach. Không gian liên hợp với không gian định chuẩn. Toán tử liên tục. Toán tử liên hợp
2. Các định lý cơ bản của giải tích hàm.
- Định luật Haln- Banach và định lý tách các tập lồi trong không gian tuyến tính
- Định lý Banach về ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng.
- Định lý Banach- Steinhaus và hệ quả
3. Toán tử Compact. Phổ của toán tử và phổ của toán tử compact. Định lý Schauder về tính compact của toán tử liên hợp.
4. Không gian Hilbert. Hệ véc tơ trực giao, phần bù trực giao của không gian con, tổng trực giao. Định lý Riesz về dạng của phiếm hàm tuyến tính liên tục. Cơ sở của không gian Hilbert. Giá trị riêng và véc tơ riêng của toán tử compact liên hợp. Định lý Hilbert Schmidt về biểu diễn phổ.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hoàng Tuỵ. Giải tích hiện đại, tập I,II,III (Nhà xuất bản giáo dục 1979)
2. Phạm Đức Chính. Giải tích hàm, Tập I, II (Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp 1974, Nhà xuất bản giáo dục 1977-1978)
3. Kohnnogovov A.H. Femine B.V. Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm (Bản dịch của Trần Phúc Cường, Võ Tiếp, Tập I, NXBGD, 1981, tập II NXBGD 1982)
4. Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải- Bùi Đắc Tắc- Đỗ Đức Thái. Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập 1 và 2, NXBGD, 2001
5. Đỗ Đức Thái, Bài tập không gian tôpô- Độ đo- Tích phân. NXB Đại học Sư phạm-2003
6. Tài liệu ôn thi cao học của thầy Lê Hoàn Hóa và Huy.
I. Đại số tuyến tính
1. Không gian véc tơ: Không gian véc tơ; cơ sở; chiều; hạng của hệ véc tơ, không gian véc tơ con; Không gian con sinh bởi một tập.
2. Ánh xạ tuyến tính: Ánh xạ tuyến tính; ảnh và hạt nhân; Đơn cấu; toàn cấu, đẳng cấu; không gian thương và Định lý về đồng cấu.
3. Ma trận: Ma trận của ánh sáng tuyến tính; vành các ma trận vuông; Nhóm tuyến tính tổng quát (của các ma trận khả nghịch)
4. Định thức: Ánh xạ đa tuyến tính thay phiên; định thức của một ma trận vuông, của một tự đồng cấu, của một hệ véc tơ đối với một cơ sở; Định thức về hạng của ma trận biểu thị qua định thức.
5. Hệ phương trình tuyến tính: Hệ phương trình tuyến tính; Quy tắc Cramen; Phương pháp khử Gaus; Định lý Kronecker-Capelli.
6. Véc tơ riêng, giá trị riêng của một tự đồng cấu
7. Dạng toàn phương: Dạng song tuyến tính; dạng toàn phương; phân loại dạng toàn phương thực; định lý về chỉ số quán tính.
8. Không gian véc tơ
II. Nhóm
1. Nhóm: Nhóm; nhóm con; nhóm con sinh bởi một tập; Nhóm xyclic; nhóm con của nhóm xyclic.
2. Nhóm con chuẩn tắc: Liên hợp; lớp kề (lớp ghép); Nhóm con chuẩn tắc; nhóm thương.
3. Đồng cấu nhóm: Đồng cấu nhóm; ảnh và hạt nhân; định lý về đồng cấu nhóm.
4. Nhóm hữu hạn: Định lý Lagrange và các hệ quả.
5. Nhóm đối xứng: Nhóm đối xứng; Nhúng các nhóm hữu hạn vào nhóm đối xứng; Nhóm thay phiên.
III. Vành và trường
1. Vành và iđêan: Vành; Vành con; Đặc số của vành; Iđêan; Iđêan nguyên tố và Iđêan cực đại; vành thương.
2. Đồng cấu vành: Đồng cấu vành; ảnh và hạt nhân; Định lý về đồng cấu vành.
3. Vành và các iđêan chính: Miền nguyên; Vành các iđêan chính; Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất
4. Vành nhân tử hóa: Vành nhân tử hóa (Vành Gauss). Tính nhân tử hóa của vành
5. Trường: Trường; Trường và các thương (trường các phân thức)
6. Vành và trường số: Vành số nguyên; Trường số hữu tỉ; Trường số phức.
IV. Vành đa thức
1. Đa thức: Vành đa thức một ẩn (với các hệ số trong một trường); Phép chia (
2. Đa thức bất quy tắc, đa thức bất khả quy; tính nhân tử hóa của vành đa thức một ẩn
3. Nghiệm của đa thức: Nghiệm và nhân tử tuyến tính; trường phân rã của một đa thức.
4. Định lý cơ bản: Định lý cơ bản của Đại số học; Nhân tử hóa đa thức với hệ số thực.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách lý thuyết
- S.Lang, Đại số(Tập 1,2,3), Bản dịch tiếng Việt, Nxb ĐH và THCN
- Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB GD
Sách bài tập
1. Bùi Huy Hiển, Nguyễn Hữu Hoan, Phan Doãn Thoại, Bài tập đại số và số học (Tập 1,2), Nxb GD
3. Tài liệu ôn thi cao học của thầy Quang và thầy Huyên
2. Đại số đại cương của thầy Quang.
Thời khóa biểu:
Thứ 2,6: Giải tích
Thứ 4: Đại số
giúp em giải dùm mấy bài này với. dang on thi học kỳ mà khó quá mấy anh ơi. gần thi rồi. huhu. gởi mail cho em nhé
ReplyDeleteminhloi87@yahoo.com
1. Ký hiệu C[0,1] C[0,1] là không gian các hàm liên tục trên đoạn [0,1] với chuẩn ‘’max’’ . Đặt T : C[0,1] C[0,1] , x Tx xác định bởi : (Tx)(t)=x(1) – tx(t) với mọi t thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh rằng các toán tử này tuyến tính, liên tục và
2. Cho X là không gian con của không gian định chuẩn X, x0 X/Y. Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm f liên tục trên Y + < x0 > và mọi phần tử y Y + < x0 > được biểu diễn dưới dạng x= y + f(x)x0 , y Y
3. Cho X là không gian định chuẩn, S, F là hai không gian con của X sao cho S đóng, F hữu hạn chiều. Chứng minh S+F là một không gian con đóng của X.
4. Cho f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian tuyến tính X và Y là không gian con của X thỏa Kerf Y. chứng minh rằng Y=X hoặc Y = Kerf
5. Cho X là không gian chuẩn túy ý và Y là không gian con hưu hạn chiều của X. Chứng minh rằng Y là không gian con đóng của X
6. cho không gian định chuẩn, Y là không gian con đóng của nó. Xét ánh xạ chiếu chính tắt : X X/Y, (x)= x + Y. Chứng minh rằng là một ánh xạ tuyến tính liên tục và nếu 0 thì = 1
7. Vận dụng tính chất: ‘không gian con đóng của không gian phản xạ là không gian phản xạ’. chứng minh rằng nếu X là Banach thì X phản xạ khi và chỉ khi không gian liên hợp X* là không gian phản xạ.
8. Cho X là không gian định chuẩn và M là một tập con của X. Giả sử với mọi f X* ta có sup . Chứng minh rằng tập M là tập bị chặn trong X
9. Cho X là không gian tuyến tính và A là tập con chứa trong X thỏa mãn hai điều kiện sau
a. với mọi x X ,
b. với mọi x, y A với mọi t ¬[0,1], t(x) + (1-t)y A
xét hàm g : X R xác định bởi g(x)=inf { > 0 : x A }, x X . Chứng minh g là nửa chuẩn trên X
10. cho X là không gian định chuẩn, f L(X,K) thỏa mãn điều kiện nếu dãy (xn) X hội tụ thì dãy (f(xn))n bị chặn. chứng minh f X*
11. cho là tập con của không gian liên hợp đại số X’ của không gian tuyến tính X. ký hiệu (X, ) là tôpô yếu nhất trên X để mọi phiếm hàm tuyến tính f , f : X K liên tục. Tập
V(x; f1 , f2, …, fn ; ) lập thành một cơ sở lân cận của tôpô này tại điểm x X
chứng minh rằng
a. (X, ) = (X,< >)
b. Nếu mọi x,y X , x y , f sao cho f(x) f(y) thì (X, ) là tôpô Hausdortf