BỔ SUNG KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH HÀM

Phần 1: Bổ sung những khái niệm trong không gian tôpô và không gian lồi địa phương





I. Không gian vectơ tôpô:


1. Cơ sở Hamel:



Cho V là KGVT, B là tập con của V được gọi là cơ sở Hamel của V nếu:
+ B độc lập tuyến tính
+ Mọi phần tử của V là tổ hợp tuyến tính các phần tử của B
2. Không gian Hausdorff (không gian T2):





Giả sử E là KGTP. Khi đó E được gọi là Haudorff nếu mọi x , y thuộc E , x # y, có U mở khác chứa x mà không chứ y.
3. Không gian l^p:





Với 0<p<1 xét không gian: l^p={x=(x_n)(R: tổng vô hạn của (|x_n|^p) hữu hạn}
4. Không gian các hàm khả tích:





Với đoạn hữu hạn [a;b](R và 0<p<1, ký hiệu L^p([a;b]) là không gian vectơ các hàm thực đo được trên [a;b] và: tích phần từ a to b của |x(t)|^pdu hữu hạn, với u là độ đo Lebesgue trên R.
5. Không gian đầy (đủ hay đầy đủ):





Cho E là là KGVT tô pô E được gọi là đầy nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ trong E.
6. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn:





Cho E là KGVT tôpô. V(E được gọi là bị chặn nếu mọi lân cận U của 0 in E tồn lại epsilon dương (e) sao cho tX(U với mọi |t|<e. U(E được gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mọi lân cận H của 0 in E tồn tại tập hữu hạn B(E để U(B+H, điều này có nghĩa là mọi x in U đều tồn tại y_x in B để: x-y_x in H.
7. Định lý Riesz:





KGVT tôpô Hausdorff E hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu nó có 1 lân cận của không gian hoàn toàn bị chặn.
II. Không gian lồi địa phương:


1. Định nghĩa:




KGVT tôpô E gọi là không gian tôpô lồi địa phương nếu mọi phần tử của E có cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi. Hay tương đương phần tử 0 in E có cơ sở lân cận thành lập từ các tập như vậy.
(X is a topological space, X is locally convex if there is a local base B whose members are convex)
2. Tập lồi, cân, hút:




KGVT E, A(E được gọi là lồi nếu tx+(1-t)y in A , mọi t in [0;1], mọi x,y in A.
3. Hàm cỡ:




Nửa chuẩn p_A = inf{a>0: x/a in A} đối với tập lồi cân hút A được gọi là hàm cỡ hay phiếm hàm Minkowski kết hợp với A.

4. Một số ví dụ:



a. Không gian các hàm liên tục trên R: C(R)


Với p_K(f)=sup|f(x)|, x in K với K compact trên R và f in C(R)
Khi đó C(R) là không gian lồi địa phương mêtric.
b. Không gian các hàm khả vi:


Giả sử [a;b] là đoạn hữu hạn trong R. với m in [0; vc), C^m([a;b]) là KGVT các hàm khả vi liên tục bậc m trên [a;b] với p_k(f)=sup{|f^(k)(x)|: x in [a;b]}, f in C^m([a;b]).
Khi đó C^m([a;b]) là không gian vectơ tôpô lồi địa phương.
c. Không gian các hàm chỉnh hình:


Giả sử D là một tập mở trong C. H(D) không gian vectơ con của không gian C(D), các hàm chỉnh hình trên D. H(D) là không gian đầy.
5. Không gian Frechet và không gian Banach:


Giả sử E là không gian lồi địa phương. Ta nói E là:
i. Không gian Frechet nếu nó là không gian vectơ mêtric đầy.
ii. Không gian Banach nếu nó là không gian định chuẩn đầy
III. Ba nguyên lí cơ bản của GTH:


1. Không gian thùng:


Giả sử E là không gian lồi địa phương và A là tập con của E. Ta nói A là 1 thùng trong E nếu A là tập đóng, lồi cân và hút.
Không gian lồi địa phương E gọi là:
i. thùng nếu mọi thùng là lân cận của phần tử không.
ii. tựa thùng nếu mọi thùng trong E hút mọi tập bị chặn là lân cận của không.
2. Nguyên lí đồng liên tục:


3. Nguyên lí ánh xạ mở:


4. Nguyên lí Hahn - Banach:


(Xem GTH của Đậu Thế Cấp)

IV. Lý thuyết đối ngẫu:

1. Cặp đối ngẫu:


2. Tôpô yếu của cặp đối ngẫu:


3. Pôla:


Phần 2: Bổ sung những khái niệm trong giải tích hàm hiện đại


0. Giới hạn quy nạp:


1. Không gian chặn nội (không gian Mackey):


2. Giới hạn quy nạp chặt:


3. Giới hạn xạ ảnh:


4. Tích Tensor của các không gian lồi địa phương:


5. Một số khái niệm khác:


6. F-không gian và DF-không gian: