ÔN THI GIẢI TÍCH HÀM ĐIA!

pHầN 1: lÝ tHuYếT

Chương 1:
6.1 Định lí:


Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều trên cùng một trường K đều đẳng cấu với nhau
Chứng minh:


Ta chứng minh nếu E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều (dimE=n) trên trường K tùy ý thì E đẳng cấu với K^n (Không gian Euclide n_chiều).
Tìm một ánh xạ từ E --> K^n là 1 đẳng cấu tuyến tính và liên tục hai chiều.
Gọi a1,a2,...,an là cơ sở của E. Mọi x in E được viết một cách duy nhất dạng: x=b1a1+b2a2+...+bnan với bi in K.
Đặt x*=(b1,b2,...,bn) in K^n
Lúc đó xét ánh xạ: T: E------->K^n
T(x)=x* xác định như trên.
Kiểm tra T là đẳng cấu tuyến tính (rõ ràng nó là 1-1 vì tính duy nhất cách biểu thị của x qua cơ sở)
Chứng minh T, T^-1 liên tục.
Hệ quả 1: Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là Banach, các chuẩn trên cùng một không gian hữu hạn chiều đều tương đương với nhau.
Chứng minh:


Từ định lý trên nếu E là kgđc hữu hạn chiều (dimE=n) trên trường K thì nó đẳng cấu với K^n. Nên tính chất của E là tương tự tính chất của K^n, mà K^n là không gian Banach nên E là không gian Banach.
Giả sử (E,c1), (E,c2) là kgđc hữu hạn chiều với hai chuẩn khác nhau nhưng đều đẳng cấu K^n. Và từ ánh xạ đồng phôi từ E --->K^n ta có thấy rằng giữa c1 và c2 có số a, b>0 để: ac1(x)<=c2(x)<=bc1(x), all x in E.
Có một tính chất quan trọng tích các không gian tuyến tính định chuẩn là một không gian Banach khi và chỉ khi mọi thành phần đều là Banach.
Hệ quả 2: Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian định chuẩn đều là không gian con đóng.
Chứng minh:


Cũng tương tự do K^n là không gian đóng nên E là không gian con đóng.
6.6 Định lí Riesz:
Mọi không gian định chuẩn E là compact địa phương nếu và chỉ nếu có chiều hữu hạn.
(Every locally compact space if and only if it has finite dimension)
Chứng minh:
Chiều thuận:
Ta tìm hệ a1,a2,...,an in E thỏa E=<a1,a2,...,an> với giả thuyết E compact địa phương ta tìm cơ sở thỏa yêu cầu trên.
Chiều đảo:
E hữu hạn chiều nên đẳng cấu K^n, mà K^n là không gian compact địa phương nên E là compact địa phương.
Chương 2:
Vài hệ quả của định lí Hahn - Banach:
Hệ quả 1:
Mọi phiếm hàm tuyến tính f liên tục trên kg con F của kgđc E đều tồn tại phiếm hàm tuyến tình liên tục f* trên E sao cho: f*|F = f và ||f*||=||f||.
Chứng minh:
Hệ quả 2:
Cho F là 1 kgvt con của kgđc E và vectơ v in E\F sao cho d(v,F)={inf||v-x||_x in F}=a>0. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liện tục f: E------>K sao cho ||f||=1, f|F=0 và f(v)=a.
Chứng minh:
Hệ quả 3:
Mọi vectơ v in kgđc E, v#0, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho ||f||=1 và f(v)=||v||.
Chứng minh:
Hệ quả 4:
Cho p là một nửa chuẩn trên kgvt E và v in E. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho |f(x)|<=p(x) all x in E and f(v)=p(v).
Chứng minh:
Định lý đồ thị đóng:
Cho f là ánh xạ tuyến tính từ kg Banach E vào kg Banach F. Khi đó f liên tục nếu và chỉ nếu đồ thị của f là tập đóng trong E x F.
Chứng minh:
Chương 3:
2.4 Định lí:
Cho F là kg con Hilbert của kg tiền Hilbert E. Khi đó E=F [+] F'(với [+] tổng trực tiếp, F' là phần bù trực giao của F) và phép chiếu trực giao P|F : E---->F là ánh xạ tuyến tính, liên tục.
Chứng minh:
4.3 Bổ đề:
Cho {e_i} là 1 dãy trực chuẩn trong kg Hilbert E. Khi đó
a) Bất đẳng thức Bessel thỏa mãn (tổng vô hạn |(x|e_i)|^2 <= ||x||^2 all x in E)
b) Mọi (b_i) in l^2 chuỗi b_ie_i hội tụ trong E.
Chứng minh:
4.4 Định lí:
4.5 Định lí:
(Xem GTH Đậu Thế Cấp)
pHầN 2: bÀi tẬp